Hallo, ich bin Charlotte von 1-2-3-Mathe und ich erkläre euch jetzt, wie man
Wendepunkte in der Differenzialrechnung berechnet. Zuerst zeige ich euch ganz kurz, was ein Wendepunkt ist. Wenn ihr zum Beispiel aus
einem Tal heraus den Berg hoch geht, im Tal ist die Steigung null, da freuen wir
uns, und dann steigt die Steigung langsam an und irgendwann wird sie dann wieder
geringer und oben drauf haben wir wieder die Steigung null und in der Mitte
irgendwo haben wir diesen Wendepunkt. Da freuen wir uns, wenn es nicht mehr so
steil geht. Das gleiche gibt es auch bei Funktionen. Wenn wir zum Beispiel diese
Funktion haben, da ist der Graph dazu und da sehen wir auch, an den
Extrempunkten da unten und da oben ist die Steigung null. Das haben wir ja bei
Extrempunkten berechnet gesehen und wenn also hier unten von dem Tiefpunkt aus
von der Steigung null, wird die Steigung langsam immer größer und irgendwo haben
wir da auch einen Wendepunkt, wahrscheinlich da und ab da wird die
Steigung wieder geringer. Die Steigung sehen wir ja in der Ableitung und
deswegen die Steigung ist am größten, wenn die Ableitung f' von x Maximum hat
Das ist der Graph von f' von x und da sehen wir es bestätigt sich an der
Stelle x gleich 2 ist ein Maximum. Das können wir jetzt berechnen. Dazu noch
mal kurz die Wiederholung. Bei Extremwerten war es ja so, den Extremwert von f von x
haben wir gefunden, indem wir die erste Ableitung f' von x gleich null
setzen, die Nullstellen finden und f2' von x darf nicht null sein
Das gleiche haben wir bei Wendepunkten nur eine Etage höher. Ein Wendepunkt ist
in der Funktion f ist vorhanden, wenn f2' gleich null, also die Nullstellen hat
und f3' ungleich null. Wir finden das Maximum in der ersten Ableitung f
von x, also wenn die zweite Ableitung f2' von x gleich null
Also bilden wir die erste Ableitung von unserer Funktion, dann die zweite, setzen
wir auf null und finden also den x-Wert 2. f2' von 2 ist null, das ist also eine
Wendestelle. Schauen wir uns den Graph dazu an. Das stimmt also. Die dritte
Ableitung dieser Funktion ist immer minus 4, ist also ungleich null, ist also auch
die zweite Bedingung erfüllt. Wir können an der zweiten Ableitung f2' von x
auch ablesen, wenn das größer als null ist, bedeutet das der Graph von f von x
ist links bekrümmt. Das nennt man auch Konkav. Dazu noch mal ein Beispiel, wenn
ihr mit dem Fahrrad durch eine S-Kurve fahrt, dann hat diese Kurve ja erstmal
eine Linkskurve. An der Stelle müsst ihr den Lenker nach links drehen und
irgendwann bevor es in die Rechtskurve geht, steht der Lenker gerade. Das ist
also die Links- und Rechtskrümmung und die sieht man auch an den ursprünglichen
Graphen. Wenn ihr vorstellt, ihr kommt von oben, habt ihr erst diese Linkskurve
Wenn f2' von x kleiner als null ist, dann bedeutet das, dass der Graph von f
von x rechts gekrümmt ist. Das nennt man auch Konkav